2.中考数学复习专题:圆的证明与计算题专题研究.doc

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圆的证明与计算 专 题 研 究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。一、考点分析 1.圆中的重要定理1圆的定义主要是用来证明四点共圆.2垂径定理主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.3三者之间的关系定理 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.4圆周角性质定理及其推轮 主要是用来证明直角、角相等、弧相等.5切线的性质定理主要是用来证明垂直关系.6切线的判定定理 主要是用来证明直线是圆的切线.7切线长定理 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算求线段长(或面积);求线段比;求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。三、解题秘笈1、判定切线的方法(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。常见手法有全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。常见手法角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;总而言之,要完成两个层次的证明直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例(1)如图,AB是O的直径,BCAB,ADOC交O于D点,求证CD为O的切线;(2)如图,以RtABC的直角边AB为直径作O,交斜边AC于D,点E为BC的中点,连结DE,求证DE是O的切线.(3)如图,以等腰ABC的一腰为直径作O,交底边BC于D,交另一腰于F,若DEAC于E(或E为CF中点),求证DE是O的切线.(4)如图,AB是O的直径,AE平分BAF,交O于点E,过点E作直线EDAF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,求证CD是O的切线.2、与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有(1)构造思想如构建矩形转化线段;构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);构造垂径定理模型弦长一半、弦心距、半径;构造勾股定理模型;构造三角函数.(2)方程思想设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。(3)建模思想借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型图形1如图1AB是O的直径,点E、C是O上的两点,基本结论有(1)在“AC平分BAE”;“ADCD”;“DC是O的切线”三个论断中,知二推一。(2)如图2、3,DE等于弓形BCE的高;DCAE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦EF)。(3)如图(4)若CKAB于K,则CKCD;BKDE;CKBEDC;AEAB2BK2AD;ADCACBAC2ADAB(4)在1中的条件、、中任选两个条件,当BGCD于E时(如图5),则DEGB;DCCG;ADBGAB;ADBGDC2 图形2如图RtABC中,ACB90。点O是AC上一点,以OC为半径作O交AC于点E,基本结论有(1)在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BDBC”。四个论断中,知一推三。(2)G是BCD的内心; ;BCOCDEBODECOCECE2;(3)在图(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。(4)如图(3),若BCCE,则tanADE;BCACAB345 ;(在、、中知一推二)设BE、CD交于点H,,则BH2EH图形3如图RtABC中,ABC90,以AB为直径作O交AC于D,基本结论有如右图(1)DE切OE是BC的中点; (2)若DE切O,则DEBECE; D、O、B、E四点共圆CED2ACDCA4BE2, 图形特殊化在(1)的条件下如图1DEABABC、CDE是等腰直角三角形;如图2若DE的延长线交AB的延长线于点F,若ABBF,则;图形4如图,ABC中,ABAC,以AB为直径作O,交BC于点D,交AC于点F,基本结论有(1)DEACDE切O;(2)在DEAC或DE切O下,有DFC是等腰三角形;EFEC;D是 的中点。与基本图形1的结论重合。连AD,产生母子三角形。图形5以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于, 基本结论有(1)如图1ADBCCD; CODAEB90; OD平分ADC(或OC平分BCD);(注在、、及“CD是O的切线”四个论断中,知一推三)ADBC2R2;(2)如图2,连AE、CO,则有COAE,COAE2R2与基本图形2重合(3)如图3,若EFAB于F,交AC于G,则EGFG.图形6如图直线PRO的半径OB于E,PQ切O于Q,BQ交直线PQ于R。基本结论有(1)PQPR PQR是等腰三角形;(2)在“PROB”、“PQ切O”、“PQPR”中,知二推一(3)2PRREBRRQBE2RAB2图形7如图,ABC内接于O,I为ABC的内心。基本结论有(1)如图1,BDCDID;DI2DEDA;AIB90ACB;(2)如图2,若BAC60,则BDCEBC.图形8已知,AB是O的直径,C是 中点,CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有(1)CDBG;BEEFCE;GF2DE反之,由CDBG或BEEF可得C是 中点(2)OEAF,OEAC;ODEAGF(3)BEBGBDBA(4)若D是OB的中点,则CEF是等边三角形; 四、范例讲解例题1ABP中,ABP90,以AB为直径作O交AP于C点,弧,过C作AF的垂线,垂足为M,MC的延长线交BP于D.(1)求证CD为O的切线;(2)连BF交AP于E,若BE6,EF2,求的值。例题2直角梯形ABCD中,BCD90,ABADBC,AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F.求证CD为O的切线若,求的值例题3如图,AB为直径,PB为切线,点C在O上,ACOP。(1)求证PC为O的切线。(2)过D点作DEAB,E为垂足,连AD交BC于G,CG3,DE4,求的值。例题4(2009调考)如图,已知ABC中,以边BC为直径的O与边AB交于点D,点E为 的中点,AF为ABC的角平分线,且AFEC。(1)求证AC与O相切;(2)若AC6,BC8,求EC的长五、练习1如图,RtABC,以AB为直径作O交AC于点D, ,过D作AE的垂线,F为垂足.(1)求证DF为O的切线;(2)若DF3,O的半径为5,求的值.2如图,AB为O的直径,C、D为O上的两点, ,过D作直线BC的垂线交直线AB于点E,F为垂足.(1)求证EF为O的切线;(2)若AC6,BD5,求的值.3如图,AB为O的直径,半径OCAB,D为AB延长线上一点,过D作O的切线,E为切点,连结CE交AB于点F.(1)求证DEDF;(2)连结AE,若OF1,BF3,求的值.4如图,RtABC中,C90,BD平分ABC,以AB上一点O为圆心过B、D两点作O,O交AB于点一点E,EFAC于点F.(1)求证O与AC相切;(2)若EF3,BC4,求的值.5如图,等腰ABC中,ABAC,以AB为直径作O交BC于点D,DEAC于E.(1)求证DE为O的切线;(2)若BC,AE1,求的值. 6如图,BD为O的直径,A为 的中点,AD交BC于点E,F为BC延长线上一点,且FDFE.(1)求证DF为O的切线;(2)若AE2,DE4,BDF的面积为,求的值.7、如图,AB是O的直径,M是线段OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且ECFE(1)求证CF是O的切线;(2)设O的半径为1,且ACCE,求的长8、如图,AB是O的直径,BCAB,过点C作O的切线CE,点D是CE延长线上一点,连结AD,且ADBCCD.(1)求证AD是O的切线;(2)设OE交AC于F,若OF3,EF2,求线段BC的长.9、如图,ABC中,ABBC,以AB为直径的O交AC于点D,且CDBD.(1)求证BC是O的切线;(2)已知点M、N分别是AD、CD的中点,BM延长线交O于E,EFAC,分别交BD、BN的延长线于H、F,若DH2,求EF的长.10、如图,AB是半O上的直径,E是的中点,OE交弦BC于点D,过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ADOB.(1)求证CF为O的O切线;(2)求sinBAD 的值.11、如图,ABC中,ABAC,以AC为直径的O与AB相交于点E,点F是BE的中点(1)求证DF是O的切线(2)若AE14,BC12,求BF的长第 9 页 共 9 页
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